Ex 3.2, 1 Solve the following pair of linear equations by the substitution method. (iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 0.4x + 0.5y = 2.3 0.2x + 0.3y = 1.3 0.4x + 0.5y = 2.3 From (1) 0.2x + 0.3y = 1.3 Multiplying both side by 10 (0.2x + 0.3y ) ×10=1.3×10 2x + 3y = 13 2x = 13 – 3y x = (𝟏𝟑 − 𝟑𝒚)/𝟐 Putting value of x in (2) 0.4x + 0.5y = 2. (x+1)/3x+2=(x-2)/2x-3 Two solutions were found : x =(-8-√184)/-2=4+√ 46 = 10.782 x =(-8+√184)/-2=4-√ 46 = -2.782 Rearrange: Rearrange the equation by Graph f(x)=1/2x+2. Step 1. Rewrite the function as an equation. Step 2. Rewrite in slope-intercept form. Step 3.1. Find the values of and using the form . Step 3.2. Find the Absolute Max and Min over the Interval f (x)=2x^3-3x^2-12x+1 , [-2,3] f(x) = 2x3 - 3x2 - 12x + 1 , [ - 2, 3] Find the critical points. Tap for more steps (2, - 19), ( - 1, 8) Evaluate at the included endpoints. Tap for more steps ( - 2, - 3), (3, - 8) Compare the f(x) values found for each value of x in order to determine the Wyrażenie (frac{3x+1}{x-2}-frac{2x-1}{x+3}) jest równe: (frac{x^2+15x+1}{(x-2)(x+3)}) (frac{x+2}{(x-2)(x+3)}) (frac{x}{(x-2)(x+3)}) (frac{x+2}{-5}) Rozwiązanie Simplify (2x+1) (3x-2) (2x + 1) (3x − 2) ( 2 x + 1) ( 3 x - 2) Expand (2x+1)(3x− 2) ( 2 x + 1) ( 3 x - 2) using the FOIL Method. Tap for more steps 2x(3x)+2x⋅−2+1(3x)+ 1⋅−2 2 x ( 3 x) + 2 x ⋅ - 2 + 1 ( 3 x) + 1 ⋅ - 2. Simplify and combine like terms. Tap for more steps 6x2 − x−2 6 x 2 - x - 2. Free math problem solver Wyznacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których określone jest wyrażenie: log2(3-2x-x^2)(log a o podstawie 2 z (3-2x-x^2). Question from @monikaa1606 - Liceum/Technikum - Matematyka Zad 1 zapisz wyrażenie (5x+2)(x-1)-5(x²-4) w jak najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla x=3zad 2 zapisz wyrażenie 4s(4t-3s)+3t(2t+s) w jak najprostszej postaci zad wyrażenie 5(y do kwadratu-8)-(18-8y do kwadratu)doprowadź do prostszej postaci zad 4 uzupełnij a) 2pg-10q do kwadratu p do kwadratu=..(1-5pq)b) 4 xy do potęgi 3 In long division, we follow the following steps. Step 1 : write the dividend under the division symbol, and the divisor to the left on the outside. Step 2 : Divide the first expression. Step 3 : write the remainder obtained from the first division and write the third expression it will be the new dividend. Step 4 : again divide the dividend Solve for x: 6x−7 2x+1 = 3x+1 x+5. View Solution. Q 4. Solve the equations: (i) 5 x = 3 x + 24; (ii) 8 t + 5 = 2 t − 31; (iii) 7 x − 10 = 4 x + 11; (iv) 4 z + 3 = 6 + 2 z; (v) 2 x − 1 = 14 − x; 5NM2h9. Zestaw zadań maturalnych z lat ubiegłych posegregowanych tematycznie. Temat przewodni zestawu - WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Czytaj dalej"Arkusz maturalny - wzory skróconego mnożenia" Zadanie 1 (0-1) Liczba jest równa: Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2021/2022 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura maj 2022 p. podstawowy matematyka - z. 1" Zadanie 31 (0-2) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność b(5b-4a)+a2≥0 Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura sierpień ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura sierpień 2021 p. podstawowy matematyka - z. 31" Zadanie 4 (0-1) Dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie (3x+8y)2 jest równe A. 9x2+48xy+64y2 B. 9x2+64y2 C. 3x2+48xy+8y2 D. 3x2+8y2 Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura sierpień ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura sierpień 2021 p. podstawowy matematyka - z. 4" Zadanie 5 (0-1) Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)2-(2-x)2 jest równe A. 2x-3 B. 2x2-6x-3 C. (2x-3)2 D. 9 Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura czerwiec 2021 p. podstawowy matematyka - z. 5" Zadanie 3 (0-1) Wielomian W(x) = x4+81 jest podzielny przez Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. rozszerzony matematyka - z. 3" Zadanie 10 (0-1) Funkcja f jest określona wzorem dla każdej liczby rzeczywistej x≠1. Wtedy dla argumentu wartość funkcji jest równa A. B. -1 C. 1 D. Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura maj 2021 p. podstawowy matematyka - z. 10" Zadanie 1 (0-1) Liczba jest równa Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura marzec ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura 2021 p. podstawowy matematyka - z. 1" Zadanie 28 (0-2) Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a-2b)+2b²>0 Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 28" Zadanie 1 (0-1) Wartość wyrażenia x2-6x+9 dla jest równa A. 1 B. 3 C. D. Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura 2020 p. podstawowy matematyka - z. 1" Zadanie 8 (0-3) Liczby dodatnie a i b spełniają równość a2+2a=4b2+4b. Wykaż, że a=2b. Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 8" Zadanie 4 (0-1) Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego (x√2+y√3)4 do postaci ax4+bx3y+cx2y2+dxy3+ey4 współczynnik c jest równy A. 6 B. 36 C. D. Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2019/2020 - Matura maj ( poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura maj 2020 p. rozszerzony matematyka - z. 4" Zadanie 28 (0-2) Wykaż, że dla każdej liczby a>0 i dla każdej liczby b>0 prawdziwa jest nierówność: Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 29" Zadanie 11 (0-1) Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (3x-2)2-(2x-3)(2x+3) jest po uproszczeniu równe A. 5x2-12x-5 B. 5x2-13 C. 5x2-12x+13 D. 5x2+5 Czytaj dalej"Matura 2019 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 11" Zadanie 28 (0-2) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2-2ab+3b2≥0. Czytaj dalej"Matura 2019 p. podstawowy matematyka - z. 28" Zadanie 5 (0-1) Równość jest prawdziwa dla Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2017/2018 - Matura sierpień poziom podstawowy Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. sierpień matematyka - z. 5" Zadanie 1 (0-1) Dla oraz wartość wyrażenia jest równa A. 4 B. 1 C. D. Czytaj dalej"Matura 2018 p. pdst. czerwiec matematyka - z. 1" Zadanie 28 (0-2) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność . Czytaj dalej"Matura 2018 p. podstawowy matematyka - z. 28" mani03 Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 9 lut 2014, o 13:08 Płeć: Kobieta Lokalizacja: Kraków Podziękował: 3 razy Uprość wyrażenie \(\displaystyle{ {\sqrt{2x+2 \sqrt{2x-1} } - \sqrt{2x-2 \sqrt{2x-1} } ,x>1}\) a4karo Użytkownik Posty: 20400 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Uprość wyrażenie Post autor: a4karo » 9 lut 2014, o 18:21 Wsk: \(\displaystyle{ 2x=(2x-1) + 1}\) andqur Użytkownik Posty: 12 Rejestracja: 9 lut 2014, o 22:19 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Pomógł: 1 raz Uprość wyrażenie Post autor: andqur » 9 lut 2014, o 22:59 1. Przy założeniu, że \(\displaystyle{ x>1}\) można zauważyć, że: \(\displaystyle{ \sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}} > \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}}\). Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}} - \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} > 0}\). 2. Skorzystamy z tego, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a \ge 0}\) zachodzi związek \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=a}\), oraz z wzorów skróconego mnożenia. \(\displaystyle{ \sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}} - \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} = \sqrt{\left( \sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}} - \sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}\right)^2 } = \sqrt{\left( 2x + 2 \sqrt{2x-1}\right) - 2 \sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}\cdot \sqrt{2x-\sqrt{2x-1}} + \left( 2x-2\sqrt{2x-1}\right)}=\sqrt{4x-2\sqrt{\left( 2x+2\sqrt{2x-1}\right) \cdot \left( 2x - 2\sqrt{2x -1}}\right) }} = \sqrt{4x - 2 \sqrt{\left( 4x^2 - 4 \left( 2x-1\right) \right)} }= \sqrt{4x - 2 \sqrt{4x^2-8x+4}}=\sqrt{4x-2\sqrt{\left( 2x-2\right)^2 }}}\) Jeżeli wiadomo, że \(\displaystyle{ x>1}\) to \(\displaystyle{ 2x-2>0}\) więc: \(\displaystyle{ \sqrt{4x-2\sqrt{\left( 2x-2\right)^2 }} =\sqrt{4x-2\left( 2x-2\right) }=\sqrt{4}=2}\) a4karo Użytkownik Posty: 20400 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Uprość wyrażenie Post autor: a4karo » 9 lut 2014, o 23:09 Dobrze, ale szybciej tak \(\displaystyle{ \sqrt{2x\pm\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1\pm\sqrt{2x-1}+1}=\sqrt{(\sqrt{2x-1}\pm 1)^2}=\sqrt{2x-1}\pm 1}\), więc \(\displaystyle{ \sqrt{2x+\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2x-1}+ 1-(\sqrt{2x-1}- 1)=2}\) andqur Użytkownik Posty: 12 Rejestracja: 9 lut 2014, o 22:19 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Pomógł: 1 raz Uprość wyrażenie Post autor: andqur » 9 lut 2014, o 23:19 Pod pierwiastkiem powinno być \(\displaystyle{ 2\sqrt{2x-1}}\) a poza tym to OK, tak faktycznie prościej. Ciekawe, że dla liczb z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle\frac{1}{2};1\right)}\), nie wychodzi 2. bakala12 Użytkownik Posty: 3044 Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Gołąb Podziękował: 24 razy Pomógł: 513 razy Uprość wyrażenie Post autor: bakala12 » 9 lut 2014, o 23:23 Bo a4karo zgubił moduł jak opuszczał pierwiastek. andqur Użytkownik Posty: 12 Rejestracja: 9 lut 2014, o 22:19 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Pomógł: 1 raz Uprość wyrażenie Post autor: andqur » 9 lut 2014, o 23:31 Taki wykresik na szybkiego: matematyk1995 Użytkownik Posty: 734 Rejestracja: 5 mar 2011, o 19:45 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Podhale/ Warszawa Podziękował: 36 razy Pomógł: 61 razy Uprość wyrażenie Post autor: matematyk1995 » 9 lut 2014, o 23:54 Założenie jest że \(\displaystyle{ x>1}\) więc zawsze będzie \(\displaystyle{ =2}\). a4karo Użytkownik Posty: 20400 Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Bydgoszcz Podziękował: 27 razy Pomógł: 3454 razy Uprość wyrażenie Post autor: a4karo » 10 lut 2014, o 00:14 bakala12 pisze:Bo a4karo zgubił moduł jak opuszczał pierwiastek. Nie zgubił. Te wyrażenia są dodatnie. Za to zgubiłem, \(\displaystyle{ 2&}\) p przed pierwiastkami, Sorry. W skrócie Zyskaj dostęp do setek lekcji przygotowanych przez ekspertów! Wszystkie lekcje, fiszki, quizy, filmy i animacje są dostępne po zakupieniu subskrypcji. W tej lekcji: wyrażenia algebraiczne – zadaniajednomian, suma algebraicznadziałania na wyrażeniach algebraicznych Miesięczny dostęp do wszystkich przedmiotów Dostęp do 9 przedmiotów Płatność co miesiąc Zrezygnuj kiedy chcesz! 19,90Płatne co miesiąc Zrezygnuj w dowolnym momencie Kontynuuj RABAT 15% Roczny dostęp do wszystkich przedmiotów Dostęp do 9 przedmiotów Korzystny rabat Jednorazowa płatność Korzystasz bez ograniczeń przez cały rok! 84,15 7,01 zł / miesiąc Jednorazowa płatność Kontynuuj lub kup dostęp przedmiotowy Dostęp do 1 przedmiotu na rok Nie lubisz kupować kota w worku? Sprawdź, jak wyglądają lekcje na Dla Ucznia Sprawdź się Filmy do tego tematu Materiały dodatkowe liczba przeciwna Aby wyznaczyć liczbę przeciwną do wskazanej liczby, należy ją pomnożyć przez –1. Np. liczbą przeciwną do 2 jest –2, liczbą przeciwną do –4 jest 4, liczbą przeciwną do 1 − √2 jest −1 + √2 . Wielomianem nazywamy sumę algebraiczną jednomianów. Jednomian uważamy za szczególny przypadek wielomianu. Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych, i tak wielomian $3x+2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych $x$ i $y$, a wielomian $3x^2+2x+1$ będzie wielomianem jednej zmiennej $x$. Przykłady wielomianów $3x^2+2x+1$) $x^2-2xy$ $ax^2+bx+c$ Stopień wielomianu to najwyższy ze stopni jednomianów wchodzących w jego skład. Wielomian $3+4-1$ jest stopnia zerowego. Wielomian $2a+3$ jest stopnia pierwszego. Wielomian $3x^2+2x+1$ jest stopnia drugiego. Wielomian $3a^2+b^2+2ab+1$ jest stopnia drugiego. Wielomian $-x^3-1$ jest stopnia trzeciego. Wielomianem stopnia $n$ jednej zmiennej $x$ to wyrażenie postaci $a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0$. Symbole $a_i$ to współczynniki liczbowe wielomianu, zakłada się przy tym, że $a_n \neq 0$. To założenie jest istotne, gdyż gwarantuje, że wielomian jest stopnia $n$. Każdy wielomian jednej zmiennej $x$ wyznacza funkcję $y = W(x)$, której dziedziną i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych. Wielomiany takie oznaczamy przez $W(x), P(x)$. Wielomiany jednej zmiennej to szczególny rodzaj wielomianów, z którymi często mamy do czynienia. Przykłady wielomianów jednej zmiennej $3x^2+2x+1$ (współczynniki wielomianu: $3, 2, 1$) $2x^4-1$ (współczynniki wielomianu: $2, -1$) $x^3-2x^2-x+2$ (współczynniki wielomianu: $1, -2, -1, 2$) $a+a^2+a^3+a^4+a^5$ (współczynniki wielomianu: $1, 1, 1, 1, 1$) Wielomian jest uporządkowany, gdy jego składniki uporządkowane są malejąco ze względu na wykładniki potęg. Wielomian uporządkowany składający się z dwóch wyrazów nazywamy dwumianem, a wielomian uporządkowany składający się z trzech wyrazów nazywamy trójmianem. Przykłady uporządkowanych wielomianów $2x^2+1$ (dwumian) $x^2+2x+1$ (trójmian) $x^4-2x^2-x+3$ Wielomian $W(x)=0$ nazywamy wielomianem zerowym i przyjmujemy, że nie ma określonego stopnia. Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach. Zmieniając znaki wszystkich jednomianów tworzących wielomian na przeciwne otrzymujemy wielomian do niego przeciwny. Dla każdego wielomianu $W(x)$, wielomian $-W(x) = (-1) \cdot W(x)$ jest przeciwny do $W(x)$. Suma $W(x) + (-W(x))$ jest wielomianem zerowym. Działania na wielomianach jednej zmiennej Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów nie sprawia większych trudności i w wyniku tych działań zawsze otrzymujemy wielomian. Działania na wielomianach podlegają znanym prawom. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie wielomianów są łączne i przemienne. Zachodzi również prawo rozdzielności mnożenia wielomianów względem ich dodawania. Suma i różnica wielomianów Iloczyn wielomianów Iloraz wielomianów Schemat Hornera Pierwiastki wielomianu Równania wielomianowe Rozkład wielomianu na czynniki